左极限和右极限怎么求

在学习数学极限的过程中，左极限和右极限是必须掌握的概念。对于数列和函数，它们都可以有左极限和右极限。那么，左极限和右极限怎么求呢？

首先，我们来了解一下什么是左极限和右极限。左极限指的是当自变量趋近于某个值时，函数值从左边逐渐趋近于某个常数L的过程。右极限指的是当自变量趋近于某个值时，函数值从右边逐渐趋近于某个常数L的过程。而当自变量趋近于这个值时，左极限和右极限都必须存在，且相等，才能称为这个函数在这个值处存在极限。

接下来，我们来看一下如何求左极限和右极限。

对于数列：

对于由以下标识符为n的自然数序列a1,a2,a3……an，它的左极限(LIM \nolimits_{n \rightarrow 无穷}a_n)指的是当n趋近于正无穷时，an从左边逐渐趋近于某个值L的过程，我们可以通过以下方法来求解：

1. 确定左极限的n值，也就是n趋近于无穷时，序列中趋近极限的点。

2. 将这些值都代入序列，求出结果。

3. 通过观察和计算，找出序列中n趋近于无穷时，向左逐渐趋近于某个值L的点。

对于函数：

对于函数y=f(x)，它的左极限(LIM \nolimits_{x \rightarrow a^-}f(x))指的是当x从左边趋近于某个值a时，f(x)从左边逐渐趋近于某个值L的过程。我们可以通过以下两种方法来求解：

方法1：

1. 将函数在a点左侧的x代入函数中，求出结果。

2. 通过观察和计算，找出函数在a点左侧，向左逐渐趋近于某个值L的点。

方法2：

1. 将函数f(x)表示为f(x)=(f(x)+f(a)-f(a))/(x-a)+f(a)的形式。

2. 当x从左边趋近于a时，极限可以表示为LIM \nolimits_{x \rightarrow a^-} f(x)=LIM \nolimits_{x \rightarrow a^-} (f(x)+f(a)-f(a))/(x-a)。

3. 将函数在a点左侧的x代入上述式子，求出结果。这时，通过观察和计算，找出函数在a点左侧，向左逐渐趋近于某个值L的点。

对于函数的右极限，求解方法与左极限基本相同，只需要将上述过程中的“左”字改成“右”即可。

左极限和右极限是求解极限问题中非常重要的概念，掌握它们的求解方法，对于提高我们的数学水平和解决实际问题都有着重要的作用。

在学习数学的时候，我们经常会听到“左极限”和“右极限”的概念。那么，什么是左、右极限呢？如何求出它们呢？下面就让我详细地为大家讲解一下。

一、左、右极限的概念

左、右极限是计算函数在某个点处极限值时需要用到的概念。我们首先来看一下左极限的定义：

如果函数f(x)在x = a的左侧从左极限x→a-（x趋近于a的负无穷大）时，极限的存在性以及极限值都与无穷大无关，则其左极限等于该值；否则，左极限不存在。

而右极限的定义则与左极限相似：

如果函数f(x)在x = a的右侧从右极限x→a+（x趋近于a的正无穷大）时，极限的存在性以及极限值都与无穷大无关，则其右极限等于该值；否则，右极限不存在。

这里需要解释一下“极限的存在性以及极限值都与无穷大无关”的意思。如果“极限的存在性以及极限值与无穷大有关”，那么左、右极限就不存在，因为它们不满足唯一性与有限性的要求。

二、左、右极限的求解

理解了左、右极限的概念后，我们来看一下如何求它们。

通常情况下，当函数在极限点两侧有连续性时，其左、右极限自然也就在相应的点上。但是，当函数在极限点两侧不连续时，求解左、右极限就需要用到单侧极限的概念。

先让我们来看一下求左极限的方法。

方法一：直接带入

当函数定义在极限点左侧的趋近点时，可以直接带入相应点的函数值。例如，我们要求函数f(x)在x = a的左极限，只需要计算f(a-)即可。

方法二：逐渐逼近

当函数定义在极限点左侧的趋近点时，可以让趋近点逐渐接近极限点，然后观察函数值是否无限逼近某一数值。例如，对于函数f(x)在x = a的左极限，可以计算当x逐渐趋近于a时f(x)的函数值。

方法三：换元法

当函数无法直接求得极限点左侧的趋近点时，我们可以通过换元法来进行计算。例如，我们可以通过令t = a - x，然后计算当t趋近于0时f(a - t)的函数值，就可以求出f(x)在x = a的左极限了。

类似地，我们也可以用以上方法来计算函数f(x)在x = a的右极限：

方法四：直接带入，计算f(a+)。

方法五：逐渐逼近，计算当x逐渐趋近于a时f(x)的函数值。

方法六：换元法，通过令t = x - a，然后计算当t趋近于0时f(a + t)的函数值，就可以求出f(x)在x = a的右极限了。

三、总结

综上所述，左、右极限是计算函数在某个点处极限值时需要用到的概念。当函数在极限点两侧有连续性时，其左、右极限自然也就在相应的点上。但是，当函数在极限点两侧不连续时，求解左、右极限就需要用到单侧极限的概念。求解左、右极限的方法包括直接带入、逐渐逼近和换元法等。

掌握了左、右极限的概念和求解方法，对于理解极限问题、求解函数的导数、解决微积分问题等都具有重要意义。因此，在学习数学的过程中，我们应该多花时间来练习并掌握这一知识点。