怎么求函数的间断点-如何找出函数的间断点

函数的间断点指的是函数在某些点处无法成立的点，也就是说，这些点在函数的定义域内，但却不能对应函数的值域内的任何一个函数值。在求解函数的间断点时，我们通常需要先了解一些基本的概念和方法。

一、什么是函数的间断点？

函数的间断点是指在某些点处函数无法取到值或者发生突变，通常这些点是函数的定义域内。函数的间断点分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。可去间断点指的是函数在间断点处没有定义，但这个点的左右极限都存在，则我们可以通过重新定义使得这个间断点“消失”，这种间断点也称为可修补间断点。跳跃间断点指的是函数在这个点的左右极限存在，但是却不相等，函数发生了“跳跃”，这种间断点是无法通过重新定义来修补的。无穷间断点则指的是在这个点处函数的值趋近于正无穷或负无穷，无法取到实数值。

二、如何求解函数的间断点？

为了求解函数的间断点，我们需要分别铆劲可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点这三种情况。

1. 求可去间断点

对于可去间断点，我们需要首先计算出这个点的左右极限，并判断它们是否相等。如果它们相等，那么这个点就是函数的连续点；如果它们不相等，那么这个点就是一个可去间断点。 接着我们只需要对这个点重新定义，使得这个点的左右极限同值，这样可去间断点就被修补掉了。

2. 求跳跃间断点

对于跳跃间断点，我们需要计算出这个点的左右极限。根据左右极限的大小关系，可以获知跳跃的方向以及大小。这时候我们需要重新定义函数，使得这个点对应的函数值等于左右极限的平均值。这样一来，跳跃间断点就被修补掉了。

3. 求无穷间断点

对于无穷间断点，我们需要分别计算出这个点的左右极限，然后根据它们的值以及函数是否单调递增或递减来判断无穷间断点的类型。如果函数是单调递增的，那么这个点就是一个正无穷间断点; 如果函数单调递减，那么这个点就是一个负无穷间断点。

三、实例分析

这里我们来看一个例子. 已知一个函数 $f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - x - 6}$，求解函数 $f(x)$ 的间断点。

1. 可去间断点

首先，我们可以把 $f(x)$ 写成如下形式：$$ f(x) = \frac{(x-3)(x+1)}{(x-3)(x+2)} $$ 我们可以看到函数 $f(x)$ 存在一个可去间断点：$x =3$。因为当 $x=3$ 时，原函数的分母和分子均为 0，不过左右极限都存在，那么函数在 $x=3$ 这个点可以被重新定义。 因此， 重新定义函数 $f(x)$ 如下：$$ g(x) = f(x),x \neq 3; $$ $$ g(x) = 1, x = 3. $$ 这样一来，我们就修补掉了 $x=3$ 这个可去间断点。

2. 跳跃间断点

接下来我们要分析函数 $f(x)$ 是否存在跳跃间断点。我们需要先计算出它在 $x = -2$ 这个点处的左右极限。$$ \lim_{x \to -2^{-}} g(x) = \frac{9}{16} $$ $$ \lim_{x \to -2^{+}} g(x) = \frac{1}{14} $$ 从计算结果中可以看出，左右极限不相等，因此 $f(x)$ 在 $x=-2$ 处存在一个跳跃间断点。接下来，我们需要重新定义 $f(x)$：$$ h(x) = \frac{3}{2}, x \ge -2; $$ $$ h(x) = \frac{-3}{2}, x < -2. $$ 这样一来，跳跃间断点也就被修补掉了。

3. 无穷间断点

最后，我们需要分析一下函数 $f(x)$ 是否存在无穷间断点。我们可以计算函数在 $x=2$ 附近的左右极限，进而分析出函数在 $x=2$ 这个点处是否为一个无穷间断点。$$ \lim_{x \to 2^{-}} g(x) = -\infty $$ $$ \lim_{x \to 2^{+}} g(x) = \infty $$ 从这两个极限的计算结果来看，我们可以得到结论：$x=2$ 是函数 $f(x)$ 的一个无穷间断点。

总结

求解函数的间断点时，我们需要根据函数的定义和性质来分别计算这个点的左右极限和间断点类型，然后通过重新定义函数，修补这些间断点。在实际的计算过程中，我们需要注意对各种中断点的分类以及应对策略的选择，这样才能顺利地求解函数的间断点。